La cosiddetta "regola di Ruffini" è un algoritmo semplificato per fare la divisione tra un polinomio di grado n e un binomio .
In generale si otterrà un polinomio di grado n-1 ed un resto R.
Per fare la divisione con il metodo semplificato di Ruffini si opera ricorsivamente costruendo la tabella con i coefficienti del dividendo e del divisore:
[tab1.jpg]
negli n-1 posti della riga in basso compariranno i coefficienti del polinomio quoziente B(x): per prima cosa si "abbassa" il primo coefficiente del dividendo a_n, [tab2.jpg]
quindi lo si moltiplica per alfa e si scrive il risultato nella riga centrale, in corrispondenza del coefficiente successivo: [tab3.jpg]
sommando i termini in colonna si ha il secondo coefficiente b_n-2: [tab 4.jpg]
ripetendo la moltiplicazione per alfa e la somma si riempie la tabella: [tab_compl.jpg]
Esempi:

1	-4	7	-6
2

abbasso l'1

1	-4	7	-6
2
1

moltiplico per 2

1	-4	7	-6
2	2
1

sommo

1	-4	7	-6
2	2
1	-2

moltiplico per 2

1	-4	7	-6
2	2	-4
1	-2

sommo

1	-4	7	-6
2	2	-4
1	-2	3

moltiplico per 2

1	-4	7	-6
2	2	-4	6
1	-2	3

sommo

1	-4	7	-6
2	2	-4	6
1	-2	3	0

In questo caso il resto è zero, il polinomio è divisibile per , si ha quindi

Esempio con resto:

quando mancano dei termini il corrispondente coefficiente è nullo

2	0	-1	0	2
-1

abbasso il 2

2	0	-1	0	2
-1
2

moltiplico per -1

2	0	-1	0	2
-1	-2
2

sommo

2	0	-1	0	2
-1	-2
2	-2

moltiplico

2	0	-1	0	2
-1	-2	2
2	-2

sommo

2	0	-1	0	2
-1	-2	2
2	-2	1

moltiplico

2	0	-1	0	2
-1	-2	2	-1
2	-2	1

sommo

2	0	-1	0	2
-1	-2	2	-1
2	-2	1	-1

moltiplico

2	0	-1	0	2
-1	-2	2	-1	1
2	-2	1	-1

sommo

2	0	-1	0	2
-1	-2	2	-1	1
2	-2	1	-1	3

Si ha quindi

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La vita

Paolo Ruffini nacque a Valentano il 23 settembre 1765. Il padre, medico condotto, era originario di Reggio Emilia. Ruffini voleva prendere gli ordini, divenne anche chierico, ma cambiò idea e decise di intraprendere gli studi di matematica e di medicina all’Università di Modena, dove si era trasferito con la famiglia. Si laureò presto in medicina, ma le sue doti in matematica gli fruttarono già all’età di 23 la cattedra di analisi e tre anni dopo gli fu affidato anche il corso di matematica elementare.Dopo un breve periodo a Milano, dove fu membro dei Juniori durante l’invasione Francese, tornò alle sue amate lezioni all’Università di Modena.L’Università venne chiusa da Napoleone, e Ruffini insegnò nella nuova Scuola Militare; nel 1814 il duca Francesco IV fece riaprire l’Università e Ruffini fu nominato rettore a vita, ed ebbe le cattedre di Medicina Pratica e Matematica Applicata.Nel 1816 divenne presidente della Società Italiana detta “Dei Quaranta”, di cui era membro dal 1800, e per la quale si impegnò sempre.Durante l’epidemia di tifo del 1817 Ruffini non esitò ad esporsi al contagio pur di aiutare i suoi concittadini, si ammalò, e pur guarendo non recuperò mai la piena salute.

Morì a Modena il 10 maggio 1822.

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Le opere

L’opera più famosa ed importante di Ruffini è

• Teoria generale delle equazioni, in cui si dimostra impossibile la soluzione algebraica delle equazioni generali di grado superiore al 4° 1798.

in cui compare il famoso teorema di impossibilitàSeguono:

• Della soluzione delle equazioni algebriche determinate particolari di grado sup. al 4° in "Mem. Soc. Ital.", IX, 1802
• Della insolubilità etc. qualunque metodo si adoperi, algebraico esso sia o trascendente" in "Mem. Inst. Naz. Ital.", I, 1806
• Riflessioni intorno alla rettificazione ed alla quadratura del circolo" in "Mem. Soc. Ital.", IX, 1802
• Dell'immortalità dell'anima" (Modena, 1806)

• Riflessioni critiche sopra il saggio filosofico intorno alle probabilità del Sig. Conte de la Place" (Modena, 1821)

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Bibliografia

G. Barbensi, Paolo Ruffini, Modena, Accademia di Scienze, Lettere ed Arti, 1956. F. Barbieri - F. Cattelani Degani, Catalogo della corrispondenza di Paolo Ruffini, Modena, Accademia Nazionale di Scienze Lettere e Arti, 1997.
H. Burkhardt, Die Anfange der Gruppentheorie und Paolo Ruffini, Zeitschr. fur Math. und Physik, Jahrgang XXXVII (1892); traduzione italiana di E.Pascal su Annali di Mat. pura ed applicata, serie II, Tomo XXII (1894), p.175-212.
E. Bortolotti, Opere matematiche di Paolo Ruffini, Tomo I, a cura del Circolo mat. di Palermo, 1915; Tomo II, a cura dell'Unione Mat. Italiana, Ed. Cremonese, Roma, 1943 (rist.anastatica,1953); Tomo III (contenente il carteggio matematico), a cura dell'Unione Mat. Italiana, Ed. Cremonese, Roma, 1954.
Fantonetti, Note storiche sopra i socj defunti: Paolo Ruffini in: Mem. Imp. Reg. Ist. del Regno Lomb. Ven., V (1838), 40-41;
Lombardi, Notizie sulla vita di Paolo Ruffini (Florence, 1824);Poggendorf, Biogr.-Litt. Handwörterb. zur Gesch. der Exact. Wiss. (1858-63);
Cajori, Horner's Method of Approximation Anticipated by Ruffini in: Bull. of American Math. Soc. (May, 1911).
L. Muracchini: Il fondo giurisprudenziale estense dell’Accademia modenese di Scienze Lettere e arti, Atti e Memorie dell’Accademia Nazionale di Scienze Lettere e Arti di Modena, ser. VIII, vol. 3 (1999-2000).

 

I testi e le dimostrazioni sono dell'Ing. Dario Benvenuti